Question

14．如图，所有棱长都为2的正三棱柱BCD-B′C′D′，四边形ABCD是菱形，其中E为BD的中点．
（1）求证：C′E∥面AB′D′；
（2）求面AB'D'与面ABD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取B′D′的中点为F，连AF，C′F，得AFC′E为平行四边形，从而AF∥C′E，由此能证明C′E∥面AB′D′．
（2）取BC中点为G，则AD，DG，DD′两两垂直，以D为原点，DA、DG、DD′分别为x，y，z轴m建立空间直角坐标系，利用向量法能求出面AB'D'与面ABD所成锐二面角的余弦值．

解答 证明：（1）如图取B′D′的中点为F，
连AF，C′F，得AFC′E为平行四边形．
∴AF∥C′E，
又AF?面AB′D′，C′E?面AB′D′，
∴C′E∥面AB′D′．
解：（2）∵ABCD为菱形，
且∠DCB=60°，
取BC中点为G，
则AD，DG，DD′两两垂直，
以D为原点，DA、DG、DD′分别为x，y，z轴m建立空间直角坐标系如图．
由棱长为2得A（2，0，0），
B′（1，$\sqrt{3}$，2），D′（0，0，2），D（0，0，0），
$\overrightarrow{DA}$=（2，0，0），$\overrightarrow{D{D}^{'}}$=（0，0，2），
设平面AB'D'的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}^{'}}=-x+\sqrt{3}y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}^{'}}=-2x+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1），
又面ABD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设面AB'D'与面ABD所成锐二面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{21}}{3}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴面AB'D'与面ABD所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查面线平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．