Question

18．在正项数列{a_n}中，已知a₁=1，且满足a_n+1=2a_n$-\frac{1}{{a}_{n}+1}$（n∈N*）
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）证明．a_n≥$（\frac{3}{2}）^{n-1}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用递推公式能依次求出a₂，a₃．
（Ⅱ）利用数数归纳法证明：先验证当n=1时，${a}_{1}=1≥（\frac{3}{2}）^{1-1}=1$，成立，再假设当n=k时，${a}_{k}≥（\frac{3}{2}）^{k-1}$，由f（x）=2x-$\frac{1}{x+1}$在（0，+∞）上是增函数，推导出${a}_{k+1}≥（\frac{3}{2}）^{k}$，由此能证明a_n≥$（\frac{3}{2}）^{n-1}$．

解答 解：（Ⅰ）∵在正项数列{a_n}中，a₁=1，且满足a_n+1=2a_n$-\frac{1}{{a}_{n}+1}$（n∈N*），
∴${a}_{2}=2×1-\frac{1}{1+1}$=$\frac{3}{2}$，
${a}_{3}=2×\frac{3}{2}-\frac{1}{\frac{3}{2}+1}$=$\frac{13}{5}$．
证明：（Ⅱ）①当n=1时，由已知${a}_{1}=1≥（\frac{3}{2}）^{1-1}=1$，成立；
②假设当n=k时，不等式成立，即${a}_{k}≥（\frac{3}{2}）^{k-1}$，
∵f（x）=2x-$\frac{1}{x+1}$在（0，+∞）上是增函数，
∴${a}_{k+1}=2{a}_{k}-\frac{1}{{a}_{k}+1}$≥$2（\frac{3}{2}）^{k-1}-\frac{1}{（\frac{3}{2}）^{k-1}+1}$
=（$\frac{3}{2}$）^k+$\frac{1}{3}$（$\frac{3}{2}$）^k-$\frac{1}{（\frac{3}{2}）^{k-1}+1}$
=（$\frac{3}{2}$）^k+$\frac{\frac{1}{3}（\frac{3}{2}）^{2k-1}+\frac{1}{3}（\frac{3}{2}）^{k}-1}{（\frac{3}{2}）^{k-1}+1}$
=（$\frac{3}{2}$）^k+$\frac{\frac{1}{9}[（\frac{3}{2}）^{k}+3][2×（\frac{3}{2}）^{k}-3]}{（\frac{3}{2}）^{k-1}+1}$，
∵k≥1，∴2×（$\frac{3}{2}$）^k-3$≥2×\frac{3}{2}$-3=0，
∴${a}_{k+1}≥（\frac{3}{2}）^{k}$，
即当n=k+1时，不等式也成立．
根据①②知不等式对任何n∈N^*都成立．

点评 本查题考查数列的第2项和第3项的求法，考查数列不等式的证明，考查数列递推式、数学归纳法证明不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．