Question

4．已知向量$\vec m=（{1，cosθ}），\vec n=（{sinθ，-2}）$，且$\vec m⊥\vec n$，则sin2θ+6cos²θ的值为2．

Answer 1

分析 $\vec m⊥\vec n$，可得$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=sinθ-2cosθ=0，tanθ=2．变形为sin2θ+6cos²θ=$\frac{2sinθcosθ+6co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{2tanθ+6}{ta{n}^{2}θ+1}$，即可得出．

解答 解：∵$\vec m⊥\vec n$，∴$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=sinθ-2cosθ=0，
∴tanθ=2．
∴sin2θ+6cos²θ=$\frac{2sinθcosθ+6co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{2tanθ+6}{ta{n}^{2}θ+1}$=$\frac{2×2+6}{{2}^{2}+1}$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．