如图.已知椭圆Γ:$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1 经过不同的三点A($\frac{{\sqrt{5}}}{2}$.$\frac{{\sqrt{5}}}{4}$).B(-$\frac{1}{2}$.-$\frac{3}{4}$).C.线段BC的中点在直线OA上．(Ⅰ)求椭圆Γ的方程及点C的坐标,(Ⅱ)设点P是椭圆Γ上的动点且直线PB.PC分� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

6．

如图，已知椭圆Γ：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1 （a＞b＞0）经过不同的三点A（$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，$\frac{{\sqrt{5}}}{4}$），B（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{4}$），C（C在第三象限），线段BC的中点在直线OA上．
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程及点C的坐标；
（Ⅱ）设点P是椭圆Γ上的动点（异于点A、B、C）且直线PB、
PC分别交直线OA于M、N两点，问|OM|•|ON|是否为定值？
若是，求出定值；若不是，请说明理由．

分析（Ⅰ）将A，B代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程，利用中点坐标公式求得D点坐标，求得直线OA的方程，代入椭圆方程，即可求得m和n的值，即可求得C点坐标；
（Ⅱ）根据直线的斜率公式．求得y₁及y₂，由x₀²=$\frac{5}{2}$-4y₀²，代入即可求得y₁y₂，由|OM|•|ON|=$\sqrt{5}$丨y₁丨•$\sqrt{5}$丨y₂丨，即可求得|OM|•|ON|为定值 $\frac{25}{16}$．

解答解：（Ⅰ）由点A，B在椭圆Γ上，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{4{a}^{2}}+\frac{5}{16{b}^{2}}=1}\\{\frac{1}{4{a}^{2}}+\frac{9}{16{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=\frac{5}{2}}\\{{b}^{2}=\frac{5}{8}}\end{array}\right.$，
∴椭圆Γ的方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{5}{2}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{8}}=1$ …（4分）
设C（m，n），则BC的中点D（$\frac{2m-1}{4}$，$\frac{4n-3}{8}$），∵D在直线OA上
由已知，求得直线OA的方程为x-2y=0，从而m=2n-1，①
又点C在椭圆Γ上，故2m²+8n²=5，②
由①②解得n=$\frac{3}{4}$（舍去）或n=-$\frac{1}{4}$，则m=-$\frac{3}{2}$，
∴点C的坐标为（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{4}$）； …（6分）
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），M（2y₁，y₁），N（2y₂，y₂），
∵P，B，M三点共线，∴$\frac{{y}_{1}+\frac{3}{4}}{2{y}_{1}+\frac{1}{2}}$=$\frac{{y}_{0}+\frac{3}{4}}{{x}_{0}+\frac{1}{2}}$，y₁=$\frac{3{x}_{0}-2{y}_{0}}{4（2{y}_{0}-{x}_{0}+1）}$，
∵P，C，M三点共线，∴$\frac{{y}_{2}+\frac{1}{4}}{2{y}_{2}+\frac{3}{2}}$=$\frac{{y}_{0}+\frac{1}{4}}{{x}_{0}+\frac{3}{2}}$，y₂=$\frac{{x}_{0}-6{y}_{0}}{4（2{y}_{0}-{x}_{0}-1）}$，…（8分）
∵点P在椭圆Γ上，
∴2x₀²+8y₀²=5，x₀²=$\frac{5}{2}$-4y₀²，
∴y₁y₂=$\frac{（3{x}_{0}-2{y}_{0}）（{x}_{0}-6{y}_{0}）}{16[（2{y}_{0}-{x}_{0}）^{2}-1]}$=$\frac{3{x}_{0}^{2}-20{x}_{0}{y}_{0}+12{y}_{0}^{2}}{16（4{y}_{0}^{2}+{x}_{0}^{2}-4{x}_{0}{y}_{0}-1）}$
=$\frac{3（\frac{5}{2}-4{y}_{0}^{2}）-20{x}_{0}{y}_{0}+12{y}_{0}^{2}}{16（\frac{5}{2}-4{x}_{0}{y}_{0}-1）}$=$\frac{5（\frac{3}{2}-4{x}_{0}{y}_{0}）}{16（\frac{3}{2}-4{x}_{0}{y}_{0}）}$=$\frac{5}{16}$，…（10分）
∴|OM|•|ON|=$\sqrt{5}$丨y₁丨•$\sqrt{5}$丨y₂丨=5丨y₁y₂丨=$\frac{25}{16}$为定值．
∴|OM|•|ON|为定值 $\frac{25}{16}$．…（12分）

点评本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，中点坐标公式的应用，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．

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