Question

15．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值为．

Answer 1

分析 首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a+b≥2 $\sqrt{ab}$代入已知条件，转化为解不等式求最值．

解答 解：考察基本不等式x+2y=8-x•（2y）≥8-（$\frac{x+2y}{2}$）²（当且仅当x=2y时取等号）
整理得（x+2y）²+4（x+2y）-32≥0
即（x+2y-4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，
所以x+2y≥4（当且仅当x=2y时即x=2，y=1时取等号）
则x+2y的最小值是4．
故答案为：4．

点评 此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$在求最大值、最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．