Question

3．已知数列{a_n}，{b_n}的通项公式分别是a_n=（-1）ⁿ⁺²⁰¹⁶•a，b_n=2+$\frac{{{{（{-1}）}^{n+2017}}}}{n}$，若a_n＜b_n，对任意n∈N₊恒成立，则实数a的取值范围是$[{-2，\frac{3}{2}}）$．

Answer 1

分析 a_n＜b_n对任意n∈N^*恒成立，分类讨论：当n为偶数时，可得a＜2-$\frac{1}{n}$＜2-$\frac{1}{2}$，解得a范围．当n为奇数时，可得-a＜2+$\frac{1}{n}$，解得a范围，求其交集即可求出实数a的取值范围．

解答 解：∵a_n=（-1）ⁿ⁺²⁰¹⁶•a，b_n=2+$\frac{{{{（{-1}）}^{n+2017}}}}{n}$，且a_n＜b_n对任意n∈N^*恒成立，
∴当n为偶数时，解得a＜2-$\frac{1}{n}$＜2-$\frac{1}{2}$，
解得a＜$\frac{3}{2}$．
当n为奇数时，解得-a＜2+$\frac{1}{n}$，解得a＞-（2+$\frac{1}{n}$）．∴a≥-2．
∴-2$≤a＜\frac{3}{2}$．即实数a的取值范围是$[{-2，\frac{3}{2}}）$．
故答案为：$[{-2，\frac{3}{2}}）$．

点评 本题考查了数列的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．