Question

13．如图四边形ABCD为边长为2的菱形，G为AC与BD交点，平面BED⊥平面ABCD，BE=2，AE=2$\sqrt{2}$．

（Ⅰ）证明：BE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若∠ABC=120°，求直线EG与平面EDC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AC⊥DB，平面BED⊥平面ABCD，得AC⊥平面BED，即AC⊥BE．
又 AE²=AB²+BE²，得BE⊥AB，即可得BE⊥平面ABCD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得BE⊥平面ABCD，故以B为原点，建立空间直角坐标系，
则E（0，0，2），D（1，$\sqrt{3}$，0），G（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），C（2，0，0），利用向量法求解．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥DB
又因为平面BED⊥平面ABCD，平面BED∩平面ABCD=DB，AC?平面ABCD．
∴AC⊥平面BED，即AC⊥BE．
又BE=2，AE=2$\sqrt{2}$，AB=2，∴AE²=AB²+BE²，
∴BE⊥AB，且AB∩BD=B，∴BE⊥平面ABCD．
（Ⅱ）取AD中点H，连接BH．
∵四边形ABCD为边长为2的菱形，∠ABC=120°，∴BH⊥AD，且BH=$\sqrt{3}$．
由（Ⅰ）得BE⊥平面ABCD，故以B为原点，建立空间直角坐标系（如图）
则E（0，0，2），D（1，$\sqrt{3}$，0），G（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），C（2，0，0）
设面EDC的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$
$\overrightarrow{ED}=（1，\sqrt{3}，-2）$，$\overrightarrow{EC}=（2，0，-2）$，$\overrightarrow{EG}=（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，-2）$
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ED}=x+\sqrt{3}y-2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EC}=2x-2z=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{m}=（\sqrt{3}，1，\sqrt{3}）$
cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{EG}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EG}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{EG}|}$=-$\frac{\sqrt{105}}{35}$
直线EG与平面EDC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{105}}{35}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，向量法求线面角，属于中档题．