Question

在平面直角坐标系xOy中，已知⊙C₁：（x+3）²+（y-1）²=4和⊙C₂：（x-5）²+（y-1）²=4
（1）若直线l过点O（0，0），且被⊙C₁截得的弦长为2

3

，求直线l的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：过点P的任意互相垂直的直线l₁和l₂，只要l₁和l₂与⊙C₁和⊙C₂分别相交，必有直线l₁被⊙C₁截得的弦长与直线l₂被⊙C₂截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标；
（3）将（2）的直线l₁和l₂互相垂直改为直线l₁和l₂所成的角为60°，其余条件不变，直接写出所有这样的点P的坐标．（直线与直线所成的角与两条异面直线所成的角类似，只取较小的角度．）

Answer 1

分析：（1）分类讨论，由垂径定理，结合点到直线距离公式，即可求得结论；
（2）考虑特殊情况，确定点P的坐标，下面对这两点加以检验，即可得到结论；
（3）有四个点，即可写得它们的坐标．

解答：解：（1）当直线l的斜率不存在时，显然不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx，即kx-y=0
由垂径定理，得：圆心C₁到直线l的距离d=

42-( 2 3 2 )2

=1，
结合点到直线距离公式，得：

|3k+1|

k2+1

=1，解得：k=0或k=-

3

4

求直线l的方程为：y=0或y=-

3

4

x，即y=0或3x+4y=0…（4分）
（2）从形入手．由题意知任意的互相垂直的l₁和l₂均使所截得的弦长相等，我们考虑特殊情况，当互相垂直的l₁和l₂分别过⊙C₁、⊙C₂的圆心时，此时的△PC₁C₂时等腰直角三角形，可以解得这样的点P的坐标分别为（1，5）、（1，-3），…（6分）
下面对这两点加以检验．
当P为（1，5）时，根据题意斜率必然存在，设：l₁：y-5=k（x-1），l₂：y-5=-

1

k

(x-1)，点C₁到l₁的距离为d1=

|4k-4|

k2+1

，点C₂到l₂的距离为d2=

|4k-4|

k2+1

，所以d₁=d₂，有两圆半径相等，所以2

4-d12

=2

4-d22

，即直线l₁被⊙C₁截得的弦长与直线l₂被⊙C₂截得的弦长相等．
同理可以检验，（1，-3）也满足题意．                       …（12分）
（3）有四个点，它们的坐标分别为：(1，1-4

3

)、(1，1+4

3

)、(1，1-

4

3

3

)、(1，1+

4

3

3

)
…（14分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．