Question

6．已知动圆M过定点P（1，0），且与直线x=-1相切．
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两点，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，求证：直线AB过定点．

Answer 1

分析 （1）设M（x，y）求出PM和M到切线x=-1的距离，列出方程整理化简即可得出轨迹方程；
（2）设直线AB的方程为x=ty+m，联立方程组消元，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根与系数的关系计算x₁x₂，y₁y₂，令x₁x₂+y₁y₂=0即可得出m，得出AB的定点坐标．

解答 解：（1）设M（x，y），
M到直线x=-1的距离为|x+1|，又|PM|=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，
∴|x+1|=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，两边平方得x²+2x+1=x²-2x+1+y²，
∴y²=4x．
∴动圆圆心M的轨迹C的方程为y²=4x．
（2）设直线AB为：x=ty+m，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+m}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消元得y²-4ty-4m=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4m．
∴x₁x₂=（ty₁+m）（ty₂+m）=t²y₁y₂+mt（y₁+y₂）+m²，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=-4mt²+4mt²+m²-4m=m²-4m=0，
解得m=4或m=0（舍）．
∴直线AB恒过定点（4，0）．

点评 本题考查了轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题．