Question

1．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，短轴的一个端点为M（0，1），过椭圆左顶点A的直线l与椭圆的另一交点为B．
（1）求椭圆的方程；
（2）若l与直线x=a交于点P，求$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{PO}$的值；
（3）若|AB|=$\frac{4}{3}$，求直线l的倾斜角．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的几何性质求出a、b的值即可；
（2）设出直线l的方程，根据题意求出B、P的坐标，计算$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OP}$的值即可；
（3）讨论直线l的斜率不存在和存在时，利用直线l的方程与椭圆的方程联立，消去y，利用弦长公式求出直线的斜率k，从而求出倾斜角的大小．

解答 解：（1）∵椭圆的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且b=1，
∴a²=2，b²=1，
∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）由（1）可知点$A（-\sqrt{2}，0）$，
设B（x₀，y₀），则直线l的方程为：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+\sqrt{2}}$（x+$\sqrt{2}$）；
令$x=\sqrt{2}$，解得$y=\frac{{2\sqrt{2}{y_0}}}{{{x_0}+\sqrt{2}}}$，即$P（\sqrt{2}，\frac{{2\sqrt{2}{y_0}}}{{{x_0}+\sqrt{2}}}）$，
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}=（{x_0}，{y_0}）•（\sqrt{2}，\frac{{2\sqrt{2}{y_0}}}{{{x_0}+\sqrt{2}}}）=\frac{{\sqrt{2}（x_0^2+2y_0^2）+2{x_0}}}{{{x_0}+\sqrt{2}}}$；
又∵B（x₀，y₀）在椭圆上，则$x_0^2+2y_0^2=2$，
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}=2$；
（3）当直线l的斜率不存在时，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设其为k，则直线l的方程为：y=k（x+$\sqrt{2}$）；
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{2y}^{2}-2=0}\\{y=k（x+\sqrt{2}）}\end{array}\right.$可得，$（2{k^2}+1）{x^2}+4\sqrt{2}{k^2}x+（4{k^2}-2）=0$，
由于△=8＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）可得，
${x_1}+{x_2}=-\frac{{4\sqrt{2}{k^2}}}{{2{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-2}}{{2{k^2}+1}}$；
∴|AB|=$\sqrt{1{+k}^{2}}$|x₁-x₂|
=$\sqrt{1{+k}^{2}}$•$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$
=$\sqrt{{（-\frac{4{\sqrt{2}k}^{2}}{{2k}^{2}+1}）}^{2}-4•\frac{{4k}^{2}-2}{{2k}^{2}+1}}$
=$\frac{4}{3}$，
解得k=±1；
∴直线l的倾斜角为$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查了椭圆的几何性质与应用问题，也考查了直线与椭圆方程以及平面向量的应用问题，是综合性题目．