Question

16．设y=f″（x）是y=f′（x）的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）都有对称中心（x₀，f（x₀）），其中x₀满足f″（x₀）=0．已知f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$，则f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2}{2017}$）+f（$\frac{3}{2017}$）+…+f（$\frac{2016}{2017}$）=（　　）

• A． 2013
• B． 2014
• C． 2015
• D． 2016

Answer 1

分析 结合题意求导可得f″（x）=2x-1，从而可求出（$\frac{1}{2}$，1）是f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$的对称中心； 从而利用对称性求得f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2016}{2017}$）=2，f（$\frac{2}{2017}$）+f（$\frac{2015}{2017}$）=2，…，从而求得．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$，
∴f′（x）=x²-x+3，
∴f″（x）=2x-1，
令f″（x）=2x-1=0解得，
x=$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$）=1，
由题意知，
（$\frac{1}{2}$，1）是f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$的对称中心；
故f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2016}{2017}$）=2，
f（$\frac{2}{2017}$）+f（$\frac{2015}{2017}$）=2，
…，
故f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2}{2017}$）+f（$\frac{3}{2017}$）+…+f（$\frac{2016}{2017}$）=2016，
故选D．

点评 本题考查了学生的学习与应用能力，同时考查了导数的综合应用及整体思想的应用，属于中档题．