Question

5．如图，已知D点在⊙O直径BC的延长线上，DA切⊙O于A点，DE是∠ADB的平分线，交AC于F点，交AB于E点．
（1）求证：AE=AF；
（2）若AB=AD，求$\frac{AD}{BD}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用弦切角定理、角平分线的性质证明∠AEF=∠AFE，即可证明AE=AF；
（2）证明△ACD∽△BAD，根据三角形相似的性质可得$\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{AB}$，又由AB=AD，可得AD：BD=tanB，求出B角大小后，即可得到答案．

解答 （1）证明：因为AD为⊙O的切线，所以∠B=∠DAC，
又因为DE是∠ADB的平分线，所以∠ADE=∠EDB，
所以∠DAC+∠ADE=∠B+∠EDB，
即∠AEF=∠AFE，
所以AE=AF；
（2）解：∵∠B=∠DAC，∠ADB=∠CDA，
∴△ACD～△BAD，∴$\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{AB}$，
∵AB=AD，∴∠B=∠ADB=∠DAC，而∠BAC=90°，∴∠B=∠ADB=30°，
在△BAC中，∴$\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{AB}=tan30°=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查的知识点是弦切角，三角形相似的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．