Question

17．若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1或$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1
• D． 以上答案都不对

Answer 1

分析 利用椭圆的简单性质求解，题中没有明确焦点在x轴还是在y轴上，所以分情况讨论．

解答 解：设焦点在x轴上，椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$
∴焦点坐标为（-c，0），（c，0），顶点坐标为（0，b），（0，-b）；
椭圆的a，b，c关系：；a²-b²=c²
∵直线x-2y+2=0恒过定点（0，1）
∴直线x-2y+2=0必经过椭圆的焦点（-c，0），和顶点（0，b）
带入直线方程：$\left\{\begin{array}{l}{-c+2=0}\\{0-2b+2=0}\\{{a}^{2}-{b}^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$
解得：c=2，b=1，a=$\sqrt{5}$
∴焦点在x轴上，椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1$；
当设焦点在y轴，椭圆的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$
∴焦点坐标为（0，-c），（0，c），顶点坐标为（-b，0），（b，0）；
椭圆的a，b，c关系：a²-b²=c²
∵直线x-2y+2=0恒过定点（0，1）
∴直线x-2y+2=0必经过椭圆的焦点（0，c），和顶点（-b，0）
带入直线方程$\left\{\begin{array}{l}{0-2c+2=0}\\{-b+2=0}\\{{a}^{2}-{b}^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$
解得：c=1，b=2，a=$\sqrt{5}$
∴焦点在y轴上，椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$．
故选C．

点评 本题考查椭圆方程的求法，题中没有明确焦点在x轴还是在y轴上，要分情况讨论，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用，属于基础题．