Question

7．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边．
（Ⅰ）若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状．
（Ⅱ）若△ABC面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}，c=2，A=60°$，求a，b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理可将acosA=bcosB转化为sinAcosA=sinBcosB，再利用二倍角的正弦与三角形的性质计算即可．
（Ⅱ）利用△ABC面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，c=2，A=60°，直接求出b，通过余弦定理求出a的值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵acosA=bcosB，
∴由正弦定理得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
∵0＜A，B＜π，
∴2A=2B或2A=π-2B，即A=B或A+B=$\frac{π}{2}$．
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
（Ⅱ）∵△ABC面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}，c=2，A=60°$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bcsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，
∴b=1，
由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccosA=1+4-4×$\frac{1}{2}$=3．
∴a=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角形的形状判断，考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的应用，考查计算能力，是中档题．