Question

19．（1）求函数$y=1-2sin（x+\frac{π}{6}）$的最大值和最小值及相应的x的值；
（2）已知函数$y=acos（2x+\frac{π}{3}）+3$，$x∈[0，\frac{π}{2}]$的最大值为4，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）分别令sin（x+$\frac{π}{6}$）=1和-1，y取得最小值和最大值，根据正弦函数的性质解出对应的x的值；
（2）根据x的范围得出cos（2x+$\frac{π}{3}$）的范围，讨论a的符号得出y的最大值，解方程求出a的值．

解答 解：（1）令$sin（x+\frac{π}{6}）=-1$，即$x+\frac{π}{6}=-\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，解得$x=-\frac{2π}{3}+2kπ，k∈Z$．
令$sin（x+\frac{π}{6}）=1$，即$x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$．解得$x=\frac{π}{3}+2kπ，k∈Z$，
∴当x=-$\frac{2π}{3}$+2kπ时，y取得最大值1+2=3，
当x=$\frac{π}{3}+2kπ$时，y取得最小值1-2=-1．
（2）因为$x∈[0，\frac{π}{2}]$，所以$2x+\frac{π}{3}∈[\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}]$，
所以$-1≤cos（2x+\frac{π}{3}）≤\frac{1}{2}$．
当a＞0，$cos（2x+\frac{π}{3}）=\frac{1}{2}$时，y取得最大值$\frac{1}{2}a+3$．
所以$\frac{1}{2}a+3=4$，所以a=2．
当a＜0，$cos（2x+\frac{π}{3}）=-1$时，y取得最大值-a+3．
所以-a+3=4，所以a=-1．
综上可知，实数a的值为2或-1．

点评 本题考查了三角函数的性质与最值，属于中档题．