Question

8．已知函数f（x）=$\sqrt{x+2}$-$\frac{1}{x-3}$．
（1）求函数y=f（x）的定义域；
（2）若函数y=f（x）+a在区间（-2，2）上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据式子有意义列出不等式组解出即可；
（2）判断出f（x）在（-2，2）上的单调性，根据零点的存在性定理列不等式解出a的范围．

解答 解：（1）由函数式子有意义得$\left\{\begin{array}{l}{x+2≥0}\\{x-3≠0}\end{array}\right.$，
解得x≥-2且x≠3，
∴f（x）的定义域为：{x|-2≤x＜3或x＞3}
（2）∵f（x）=$\sqrt{x+2}$-$\frac{1}{x-3}$+a在（-2，2）上是增函数，
且在区间（-2，2）上有且仅有一个零点，
∴f（-2）•f（2）＜0，即（$\frac{1}{5}$+a）（3+a）＜0，
解得-3$＜a＜-\frac{1}{5}$．

点评 本题考查了函数定义域，函数零点的存在性定理，属于中档题．