Question

18．已知a＞0，（$\frac{a}{{\sqrt{x}}}$-x）⁶展开式的常数项为15，则$\int_{-a}^a$（x²+x+$\sqrt{1-{x^2}}}$）dx=$\frac{2}{3}+\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 首先根据二项式系数的性质．求出a的值，在求定积分的值．

解答 解：根据二项式定理的通项公式，${T}_{r+1}={C}_{n}^{r}{a}^{n-r}{b}^{r}$
∴二项式（$\frac{a}{{\sqrt{x}}}$-x）⁶展开的通项公式为${C}_{6}^{r}（\frac{a}{\sqrt{x}}）^{6-r}（-x）^{r}$
∵常数项为15，∴$-\frac{1}{2}（6-r）+r=0$，解得：r=2
∵常数项为${C}_{6}^{2}{a}^{4}（-1）^{2}$=15
解得：a=1
∴$\int_{-a}^a$（x²+x+$\sqrt{1-{x^2}}}$）dx=${∫}_{-1}^{1}{x}^{2}{d}_{x}+{∫}_{-1}^{1}x{d}_{x}{+∫}_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}{d}_{x}$
∵${∫}_{-1}^{1}{x}^{2}{d}_{x}={2∫}_{0}^{1}{x}^{2}{d}_{x}=\frac{2}{3}$，${∫}_{-1}^{1}x{d}_{x}=0$          ${∫}_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}{d}_{x}=\frac{π}{2}$
∴$\int_{-a}^a$（x²+x+$\sqrt{1-{x^2}}}$）dx=$\frac{2}{3}+\frac{π}{2}$
故答案为：$\frac{2}{3}+\frac{π}{2}$

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，体现了转化的数学思想，同时考查了定积分的基本计算．属于中档题．