Question

12．已知f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+m在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有两个不同的零点，则m的取值范围是（-2，-1]．

Answer 1

分析 令t=2x-$\frac{π}{6}$，由x∈[0，$\frac{π}{2}$]可得-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，由题意可得g（t）=2sint+m在t∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上有两个不同的零点，故y=2sint 和y=-m在t∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上有两个不同的交点，从而求得m的取值范围．

解答 解：令t=2x-$\frac{π}{6}$，由x∈[0，$\frac{π}{2}$]可得-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
故t∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
由题意可得g（t）=2sint+m
在t∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上有两个不同的零点，
故y=2sint 和y=-m在t∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上有两个不同的交点，
如图所示：
故1≤-m＜2，即-2＜m≤-1．
故答案为：（-2，-1]．

点评 本题考查正弦函数的图象，函数的零点的判定方法，体现了数形结合及转化的数学思想，画出图形是解题的关键．