Question

14．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x．
（Ⅰ）若将函数f（x）的图象向下平移$\frac{1}{3}$个单位长度得函数h（x）的图象，求函数h（x）的图象在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-x²-x+m在[-2，4]上有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）根据导数的几何意义可知f′（1）为切线的斜率，再求出切点坐标即可得出切线方程；
（II）判断g（x）在[-2，4]上的单调性得出g（x）在[-2，4]上的最值，令$\left\{\begin{array}{l}{{g}_{max}（x）≥0}\\{{g}_{min}（x）≤0}\end{array}\right.$即可求出m的范围．

解答 解：（I）h（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}{x}^{3}$-2x-$\frac{1}{3}$，
∴h′（x）=x²-2，
∴切线的斜率k=h′（1）=-1，又h（1）=-2，
∴h（x）的图象在x=1处的切线方程为y+2=-（x-1），即x+y+1=0．
（II）g（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}$-x²-3x+m，∴g′（x）=x²-2x-3，
令g′（x）=0得x²-2x-3=0，解得x=-1或x=3．
∴当x＜-1或x＞3时，g′（x）＞0，当-1＜x＜3时，g′（x）＜0．
∴g（x）在[-2，-1]上为增函数，在[-1，3]上为减函数，在[3，4]上为增函数．
∵g（-2）=-$\frac{2}{3}+m$，g（-1）=$\frac{5}{3}$+m，g（3）=-9+m，g（4）=-$\frac{20}{3}$+m，
∴g（x）在[-2，4]上的最大值为为$\frac{5}{3}+m$，最小值为-9+m，
∵函数g（x）在[-2，4]上有零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{3}+m≥0}\\{-9+m≤0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{5}{3}$≤m≤9．

点评 本题考查了导数的几何意义，函数的单调性与最值，属于中档题．