Question

4．某地要举行一次大型国际博览会，为使志愿者较好地服务于大会，主办方决定对40名志愿者进行一次考核．考核分为两个科目：“地域文化”和“志愿者知识”，其中“地域文化”的考核成绩分为10分、8分、6分、4分共四个档次，“志愿者知识”的考核分为A、B、C、D共四个等级．这40名志愿者的考核结果如表：

分值            等级            人数	10分	8分	6分	4分
A	5	1	7	0
B	3	2	7	1
C	1	0	6	3
D	1	1	2	0

（Ⅰ）从“志愿者知识”等级A中挑选2人，求这2人的“地域文化”考核得分均不小于8分的概率；
（Ⅱ）从“地域文化”考核成绩为10分的志愿者中挑选3人，记这3人中“志愿者知识”考核结果为A等级的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设“这2人的“地域文化”考核得分均不小于8分”为事件A，由此利用排列组合知识能求出这2人的“地域文化”考核得分均不小于8分的概率．
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，X服从超几何分布，$P（X=k）=\frac{{C_5^k•C_5^{3-k}}}{{C_{10}^3}}（k=0，1，2，3）$，由此能求出X的分布列及数学期望．

解答 1解：（Ⅰ）设“这2人的“地域文化”考核得分均不小于8分”为事件A，
则这2人的“地域文化”考核得分均不小于8分的概率P（A）=$\frac{C_6^2}{{C_{13}^2}}=\frac{5}{26}$．
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，
X服从超几何分布，$P（X=k）=\frac{{C_5^k•C_5^{3-k}}}{{C_{10}^3}}（k=0，1，2，3）$，
P（X=0）=$\frac{{C}_{5}^{0}{C}_{5}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{12}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{5}{12}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{5}{12}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{5}^{3}{C}_{5}^{0}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{12}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{12}$

$EX=0×\frac{1}{12}+1×\frac{5}{12}+2×\frac{5}{12}+3×\frac{1}{12}=\frac{3}{2}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．