Question

16．设函数f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$，其中向量$\overrightarrow a$=（2cosx，$\sqrt{3}$cosx），$\overrightarrow b$=（cosx，2sinx）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a²+b²-c²≥ab，求f（C）的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用倍角公式、和差公式可得f（x），再利用周期性与单调性即可得出．
（II）利用余弦定理、三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=2{cos^2}x+\sqrt{3}sin2x=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，
∴$函数f（x）的最小正周期T=\frac{2π}{2}=π$
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$，则$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ（k∈z）$．
得f（x）在R上单调递增区间为[$-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ$]（k∈z）．
（Ⅱ）a²+b²-c²≥ab，$cosC≥\frac{1}{2}$，
∴$0＜C≤\frac{π}{3}$，
$由f（C）=2sin（2C+\frac{π}{6}）+1$，$\frac{π}{6}＜2C+\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，$当C=\frac{π}{6}时，f{（C）_{max}}=3$．
当C=$\frac{π}{3}$时，f（C）_min=2，∴f（C）∈[2，3]．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、倍角公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．