Question

18．若直线2ax+by-2=0，（a＞0，b＞0）平分圆x²+y²-2x-4y-6=0，则$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$的最小值是$3+2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出圆心，根据直线平分圆，得到直线过圆心，得到a，b的关系，利用基本不等式即可得到结论．

解答 解：圆的标准方程为（x-1）²+（y-2）²=11，
即圆心为（1，2），
∵直线2ax+by-2=0（a，b∈R⁺）平分圆x²+y²-2x-4y-6=0，
∴直线过圆心，
即2a+2b-2=0，
∴a+b=1，
则$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$）（a+b）=2+1+$\frac{b}{a}$+$\frac{2a}{b}$$≥3+2\sqrt{2}$，
当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{2a}{b}$，即a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$b时取等号，
故$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$的最小值是$3+2\sqrt{2}$．
故答案为：$3+2\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查基本不等式的应用，利用直线和圆的位置关系得到a+b=1是解决本题的关键．