Question

3．已知函数$f（x）=\frac{2}{{{e^x}+1}}+sinx$，其导函数记为f′（x），则f（2016）+f（-2016）+f′（2016）-f′（-2016）的值为2．

Answer 1

分析 利用导数的公式和导数的运算法，探究一下之间的关系，即可得到结论．

解答 解：函数$f（x）=\frac{2}{{{e^x}+1}}+sinx$，则f（-x）=$\frac{2{e}^{x}}{1+{e}^{x}}$-sinx；
f′（x）=$-\frac{2{e}^{x}}{（1+{{e}^{x}）}^{2}}$+cosx，
$f'（-x）=-\frac{2{e}^{x}}{（1+{e}^{x}）^{2}}+$cosx，
∵f′（x）-f′（-x）=0，f（x）+f（-x）=2．
∴f（2016）+f（-2016）+f′（2016）-f′（-2016）=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了导数的公式的运用，简单复合函数求导的能力，同时要求有一定的化简能力和计算能力．探究其之间的关系．属于中档题．