Question

8．（1）化简$\frac{{\sqrt{1+2sin{{610}°}cos{{430}°}}}}{{sin{{250}°}+cos{{790}°}}}$；
（2）已知$sinα+cosα=\frac{2}{3}$，求$\frac{{2{{sin}^2}α+2sinαcosα}}{1+tanα}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式化简求解即可．
（2）先计算2sinαcosα，再求$\frac{{2{{sin}^2}α+2sinαcosα}}{1+tanα}$的值．

解答 解：（1）$\frac{{\sqrt{1+2sin{{610}°}cos{{430}°}}}}{{sin{{250}°}+cos{{790}°}}}$=$\frac{\sqrt{1-2sin70°cos70°}}{-sin70°+cos70°}$
=$\frac{sin70°-cos70°}{-sin70°+cos70°}$
=-1．
（2）由sinα+cosα=$\frac{2}{3}$，于是得2sinαcosα=（sinα+cosα）²-1=-$\frac{5}{9}$，
∴$\frac{{2{{sin}^2}α+2sinαcosα}}{1+tanα}$=$\frac{2sinα（sinα+cosα）}{\frac{sinα+cosα}{cosα}}$=2sinαcosα=-$\frac{5}{9}$．

点评 本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．