Question

16．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，直线x+y+2=0与椭圆C的右焦点为圆心，以$\frac{\sqrt{6}}{2}$b为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率与标准方程；
（Ⅱ）设M为椭圆C上一点，若过点N（3，0）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，且满足$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{\;}OB$=t$\overrightarrow{OM}$（O为坐标原点），求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：a=2c，b=$\sqrt{3}$c，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，根据圆的方程及点到直线的坐标公式代入即可即可求得a和b的值，求得椭圆的方程；
（Ⅱ）由题意设直线方程y=k（x-3），代入椭圆方程，由△＞0，求得k的取值范围，分类当k=0时，t=0，$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{\;}OB$=t$\overrightarrow{OM}$成立，当t≠0，由题意求得t与k的关系，即可求得t的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，
∴a=2c，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，b=$\sqrt{3}$c，
又一椭圆C的焦点为圆心，以$\frac{\sqrt{6}}{2}b$为半径的圆的方程为（x-c）²+y²=$\frac{3}{2}{b}^{2}$，
∴圆心（c，0）到直线x+y+2=0的距离d=$\frac{丨c+2丨}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$b，
∴c+2=3c，解得c=1，a=2，b=$\sqrt{3}$，
故椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-3），M（x₀，y₀），
将直线方程代入椭圆方程得：（3+4k²）x²-24k²x+36k²-12=0，
∴△=576k⁴-4（3+4k²）（36k²-12）＞0，即5k²-3＜0，
∴k²＜$\frac{3}{5}$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则：x₁+x₂=$\frac{24{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{36{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
当k=0时，直线l的方程为y=0，此时t=0，$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{\;}OB$=t$\overrightarrow{OM}$成立，
当t=0符合题意，
当t≠0时，$\left\{\begin{array}{l}{t{x}_{0}={x}_{1}+{x}_{2}=\frac{24{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}}\\{t{y}_{0}={y}_{1}+{y}_{2}=k（{x}_{1}+{x}_{2}-6）=-\frac{18}{3+4{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
∴x₀=$\frac{1}{t}$•$\frac{24{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，y₀=$\frac{1}{t}$•$\frac{-18}{3+4{k}^{2}}$，
∴代入椭圆方程整理得：t²=$\frac{36{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=9-$\frac{27}{3+4{k}^{2}}$，
由k²＜$\frac{3}{5}$知0＜t²＜4，
∴t∈（-2，0）∪（0，2），
综上可知：t∈（-2，2）．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，考查计算能力，属于中档题．