Question

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{x-1}-1，x＞1}\\{2{-e}^{x}，x≤1}\end{array}\right.$，若函数h（x）=f（x）-mx-2有且仅有两个零点，则实数m的取值范围（　　）

• A． （-6-4$\sqrt{2}$，0）∪（0，+∞）
• B． （-6+4$\sqrt{2}$，0）∪（0，+∞）
• C． （-6+4$\sqrt{2}$，0）
• D． （-6-4$\sqrt{2}$，-6+4$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 作出f（x）与y=mx+2的函数图象，根据图象判断当图象有两个交点时直线的斜率范围即可得出m的范围．

解答 解：令h（x）=0得f（x）=mx+2，
作出f（x）和y=mx+2的函数图象，如图所示：

由图象可知当m＞0时，y=mx+2与f（x）的图象一定有两个交点，
当m＜0时，设y=m′x+2与f（x）在（1，+∞）上的函数图象相切，切点为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{m′=-\frac{2}{{（x}_{0}-1）^{2}}}\\{m′{x}_{0}+2={y}_{0}}\\{\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}-1}-1={y}_{0}}\end{array}\right.$，解得m′=-6+4$\sqrt{2}$，x₀=2+$\sqrt{2}$，
∴当-6+4$\sqrt{2}$＜m＜0时，直线y=mx+2与f（x）在（1，+∞）上的函数图象有两个交点．
综上，m的取值范围为（-6+4$\sqrt{2}$，0）∪（0，+∞）．
故选：B．

点评 本题考查了函数的零点与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．