Question

17．已知函数f（x）=aln（x+1）-ax-x²．
（1）若x=1为函数f（x）的极值点，求a的值；
（2）讨论f（x）在定义域上的单调性．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，根据x=1为函数f（x）的极值点，建立方程f'（1）=0，进行求解即可．
（2）求函数的导数，讨论a的取值范围，结合函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可．

解答 解：（1）因为f′（x）=$\frac{a}{x+1}$-a-2x，
令f'（1）=0，即$\frac{a}{2}$-a-2=0，解得a=-4，
经检验：此时，x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）递增；
x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，
∴f（x）在x=1处取极大值．满足题意．
（2）f′（x）=$\frac{a}{x+1}$-a-2x=$\frac{-2x（x+\frac{a+2}{2}）}{x+1}$，
令f'（x）=0，得x=0，或x=-$\frac{a+2}{2}$，又f（x）的定义域为（-1，+∞）
①当-$\frac{a+2}{2}$≤-1，即a≥0时，若x∈（-1，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；
若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；
②当-1＜-$\frac{a+2}{2}$＜0，即-2＜a＜0时，若x∈（-1，-$\frac{a+2}{2}$），则f'（x）＜0，f（x）递减；
若x∈（-$\frac{a+2}{2}$，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；
③当-$\frac{a+2}{2}$=0，即a=-2时，f'（x）≤0，f（x）在（-1，+∞）内递减，
④当-$\frac{a+2}{2}$＞0，即a＜-2时，若x∈（-1，0），则f'（x）＜0，f（x）递减；
若x∈（0，-$\frac{a+2}{2}$），
则f'（x）＞0，f（x）递增；
若x∈（-$\frac{a+2}{2}$，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；

点评 本题主要考查函数单调性，极值和导数的应用，注意对a进行分类讨论，考查学生的运算和推理能力．