Question

15．数列{a_n}，{b_n}，满足b_n=a_n-a_n-1，n=1，2，3，…，如果a₀=0，a₁=1且{b_n}是公比为2的等比数列，设S_n=a₁+a₂+…+a_n，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n}{{2}^{n}}$=0，则$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 求出数列{b_n}的通项，利用叠加法求出数列{a_n}的通项，进而求和，即可求极限．

解答 解：由题意，{b_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴b_n=2^n-1．
∵b_n=a_n-a_n-1，
∴a_n=（b₂+b₃+…+b_n）+a₁=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n=2ⁿ⁺¹-n-2，
∴$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{2}^{n+1}-n-2}{{2}^{n}-1}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{2-\frac{n}{{2}^{n}}-\frac{2}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{{2}^{n}}}$=2，
故选：C．

点评 本题考查等比数列的通项与求和，考查极限的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．