Question

13．复数z=2x+（x²-1）i，其中x∈R．
（1）若z是实数，求x的值；
（2）求证：|z|的最小值是1．

Answer 1

分析 （1）z是实数，可得x²-1=0，解得x．
（2）|z|=$\sqrt{4{x}^{2}+（{x}^{2}-1）^{2}}$=x²+1，利用二次函数的单调性即可得出最小值．

解答 （1）解：∵z是实数，∴x²-1=0，解得x=±1．
（2）证明：|z|=$\sqrt{4{x}^{2}+（{x}^{2}-1）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{4}+2{x}^{2}+1}$=x²+1≥1，当x=0时取等号．
∴|z|的最小值是1．

点评 本题考查了复数的有关概念、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．