Question

11．设$f（x）={2^x}-{log_{\frac{1}{2}}}$x，满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c），若函数f（x）存在零点x₀，则（　　）

• A． x₀＜a
• B． x₀＞a
• C． x₀＜c
• D． x₀＞c

Answer 1

分析 确定函数为增函数，进而可得f（a）、f（b）、f（c）中一项为负的、两项为正的；或者三项都是负的，分类讨论，结合函数的零点存在定理，从而得到答案．

解答 解：∵y=2^x在（0，+∞）上是增函数，y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x在（0，+∞）上是减函数，
可得$f（x）={2^x}-{log_{\frac{1}{2}}}$x在（0，+∞）上是增函数，
由0＜a＜b＜c，且 f（a）f（b）f（c）＜0，
∴f（a）、f（b）、f（c）中一项为负的、两项为正的；或者三项都是负的．
即f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）；或f（a）＜f（b）＜f（c）＜0．
由于实数x₀是函数y=f（x）的一个零点，
当f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）时，a＜x₀＜b，此时B成立．
当f（a）＜f（b）＜f（c）＜0时，x₀＞c＞a．
综上可得，B成立．
故选：B．

点评 本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，注意运用零点存在定理，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．