Question

13．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），直线l的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，且点A在直线l上．
（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；
（2）圆C的极坐标方程为ρ=2cosα，试判断直线l与圆C的位置关系．

Answer 1

分析 （1）由点A在直线l上，代入可得$\sqrt{2}$cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{4}$）=a，解得a．由ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，展开化为：$\frac{\sqrt{2}}{2}ρ（cosθ+sinθ）$=$\sqrt{2}$，利用互化公式即可得出．
（2）圆C的极坐标方程为ρ=2cosα，即ρ²=2ρcosα，化为：（x-1）²+y²=1．可得圆心，半径，求出圆心到直线的距离d，与半径r比较大小关系，即可得出．

解答 解：（1）由点A在直线l上，∴$\sqrt{2}$cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{4}$）=a，解得a=$\sqrt{2}$．
ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，展开化为：$\frac{\sqrt{2}}{2}ρ（cosθ+sinθ）$=$\sqrt{2}$，
从而直线l的直角坐标方程为：x+y-2=0．
（2）圆C的极坐标方程为ρ=2cosα，即ρ²=2ρcosα，
化为：x²+y²=2x，配方为：（x-1）²+y²=1．
∴圆心为（1，0），半径r=1，
∴为圆心到直线的距离d=$\frac{|1+0-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$＜1．
所以直线与圆相交．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．