Question

4．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，a₅；
（Ⅱ）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

分析 （I）根据递推式a_n+1=2a_n+1依次计算；
（II）根据计算结果猜想通项公式，先验证n=1是否成立，再假设n=k成立，推导a_k+1即可．

解答 解：（I）a₂=2a₁+1=3，
a₃=2a₂+1=7，
a₄=2a₃+1=15，
a₅=2a₄+1=31．
（II）猜想：a_n=2ⁿ-1，
证明：
当n=1时，显然2¹-1=1，猜想成立．
假设n=k时猜想成立，即a_k=2^k-1，
则a_k+1=2a_k+1=2（2^k-1）+1=2^k+1-1，
∴当n=k+1时，猜想成立．
∴a_n=2ⁿ-1．

点评 本题考查了数学归纳法，需熟练归纳法证明的步骤，属于中档题．