Question

17．如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．
（1）求证：AB∥平面PCD；
（2）求证：面PBC⊥平面PAC；
（3）求二面角P-BC-A的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用线面平行的判定定理即可证明．
（2）在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形，利用矩形的性质、勾股定理的逆定理即可证明BC⊥AC，再利用线面面面垂直的判定定理与性质定理即可证明．
（3）由BC⊥平面PAC，可得∠PCA为二面角P-BC-A的平面角，再利用直角三角形的边角关系即可得出．

解答 （1）证明：∵AB∥DC，AB?平面PCD，DC?平面PCD，
∴AB∥平面PCD．
（2）证明：在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，
则四边形ADCE为矩形，
∴AE=DC=1，
又AB=2，∴BE=1，
在Rt△BEC中，∠ABC=45°．
∴CE=BE=1，CB=$\sqrt{2}$．
∴AD=CE=1，
则AC=$\sqrt{2}$，AC²+BC²=AB²．
∴BC⊥AC，
又PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC．又由PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC．
∴面PBC⊥平面PAC．
（Ⅲ）解：∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，BC⊥AC，
∴∠PCA为二面角P-BC-A的平面角．
在Rt△PAC中，$AC=\sqrt{2}$，PA=1，
∴$PC=\sqrt{3}$．
∴$sin∠PCA=\frac{PA}{PC}=\frac{1}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题主要考查了空间位置关系、空间角、勾股定理与逆定理、矩形的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．