Question

1．已知等比数列{a_n}，a₂=3，a₅=81．
（Ⅰ）求a₇和公比q；
（Ⅱ）设b_n=a_n+log₃a_n，求数列{b_n}的前n项的和．

Answer 1

分析 （I）根据等比数列的性质求出公比q和a₇；
（II）化简b_n，使用分组求和得出{b_n}的前n项的和．

解答 解：（Ⅰ）∵a₂=3，a₅=81，∴q³=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$=27，
∴q=3，∴a₇=a₅q²=729．
（Ⅱ）a₁=$\frac{{a}_{2}}{q}$=1，∴a_n=3^n-1，
设{b_n}的前n项的和为S_n，b_n=a_n+log₃a_n=3^n-1+（n-1），
∴S_n=（1+3+3²+…+3^n-1）+（0+1+2…+n-1）
=$\frac{（1-{3}^{n}）}{1-3}$+$\frac{n（n-1）}{2}$
=$\frac{{3}^{n}+{n}^{2}-n-1}{2}$．

点评 本题考查了等比数列的性质，等差数列，等比数列的前n项和公式，属于中档题．