Question

10．某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利润y（元）与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系见下表：

x	3	4	5	6	7	8	9
y	66	69	73	81	89	90	91

已知：$\sum_{i=1}^7{x_i^2}$=280，$\sum_{i=1}^7{y_i^2}$=45309，$\sum_{i=1}^7{{x_i}{y_i}}$=3487．
参考公式：回归直线的方程是：$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$，其中$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat{b}$x．
（1）求$\overline x$，$\overline y$；
（2）画出散点图；
（3）求获纯利润y与每天销售件数x之间的线性回归方程．

Answer 1

分析 （1）利用平均数公式计算即得；
（2）把所给的7对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图；
（3）作出利用最小二乘法来求线性回归方程的系数的量，求出横标和纵标的平均数，求出系数，再求出a的值，即可求出回归方程．

解答 解：（1）求$\overline x$=$\frac{1}{7}×（3+4+5+6+7+8+9）$=6，
$\overline y$=$\frac{1}{7}×（66+69+73+81+89+90+91）$=79.86；
（2）把所给的7对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图．
散点图如下图所示．

（3）由散点图知，y与x有线性相关关系，设线性回归方程为$\widehaty=bx+a$，
∵$\sum_{i=1}^7{x_i^2}=280$，$\sum_{i=1}^7{y_i^2}=45309$，$\sum_{i=1}^7{{x_i}{y_i}}=3487$，$\overline x=6$，$\overline y=79.86$，
∴$b=\frac{{3487-7×6×\frac{559}{7}}}{280-7×36}=\frac{133}{28}=4.75$，a=79.86-6×4.75=51.36，
∴线性回归方程为$\widehaty=4.75x+51.36$．

点评 本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，是中档题．