Question

20．已知动圆M的圆心M在y轴右侧，且动圆M与圆（x-1）²+y²=1外切，与y轴相切．
（1）求点M的轨迹E的方程；
（2）已知点G（m，0）（m＞0）为曲线E内的一定点，过点G作两条直线l₁，l₂分别交曲线E于点A、B与点C、D，且P、Q分别是AB、CD的中点，若l₁，l₂的斜率之和为1，求证：直线PQ过定点．

Answer 1

分析 （1）设M（x，y），x＞0，由题意可得：$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=x+1，化简即可得出点M的轨迹E的方程．
（2）设直线l₁，l₂的方程分别为：y=k（x-m），y=（1-k）（x-m）．设（x_i，y_i），i=1，2，3，4，分别表示点A，B，C，D的坐标．直线方程分别与抛物线方程联立可得根与系数的关系，再利用中点坐标公式即可得出P，Q坐标，可得k_PQ，得出直线PQ的方程即可得出．

解答 （1）解：设M（x，y），x＞0，由题意可得：$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=x+1，化为：y²=4x．
∴点M的轨迹E的方程为：y²=4x．
（2）证明：设直线l₁，l₂的方程分别为：y=k（x-m），y=（1-k）（x-m）（k≠1，0）．
设（x_i，y_i），i=1，2，3，4，分别表示点A，B，C，D的坐标．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-m）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为：ky²-4y-4km=0，
∴y₁+y₂=$\frac{4}{k}$=2y_P，解得y_P=$\frac{2}{k}$，∴x_P=m+$\frac{2}{{k}^{2}}$，∴P$（m+\frac{2}{{k}^{2}}，\frac{2}{k}）$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=（1-k）（x-m）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为：（1-k）y²-4y-4m（1-k）=0，
∴y₃+y₄=$\frac{4}{1-k}$=2y_Q，解得y_Q=$\frac{2}{1-k}$，∴x_Q=m+$\frac{2}{（1-k）^{2}}$，∴Q$（m+\frac{2}{（1-k）^{2}}，\frac{2}{1-k}）$．
∴k_PQ=$\frac{\frac{2}{k}-\frac{2}{1-k}}{m+\frac{2}{{k}^{2}}-（m+\frac{2}{（1-k）^{2}}）}$=k（1-k）．
∴直线PQ的方程为：y-$\frac{2}{k}$=（k-k²）$（x-m-\frac{2}{{k}^{2}}）$，
化为：y=（k-k²）（x-m）+2，令x=m，可得y=2，
∴直线PQ经过定点（m，2）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．