Question

10．已知A、B、C的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）．
（1）若|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，求角α的值；
（2）若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=-1，求$\frac{{2{{sin}^2}α+2sinαcosα}}{1+tanα}$的值．

Answer 1

分析 （1）求出向量坐标，根据向量模长公式建立方程进行求解即可．
（2）根据向量数量积的定义建立方程关系，结合三角函数的三角公式进行化简即可得到结论．

解答 解：（1）∵A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）．
∴$\overrightarrow{AC}$=（cosα-3，sinα），$\overrightarrow{BC}$=（cosα，sinα-3），
∵$|{\overrightarrow{AC}}|=|{\overrightarrow{BC}}|$，
∴$\sqrt{（cosα-3）^{2}+si{n}^{2}α}$=$\sqrt{co{s}^{2}α+（sinα-3）^{2}}$，
整理得$sinα=cosα知α=kπ+\frac{π}{4}，k$∈Z．
（2）若$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}=-1$，得（cosα-3，sinα）•（cosα，sinα-3）=-1，
即cosα（cosα-3）+sinα（sinα-3）=-1，
整理得$sinα+cosα=\frac{2}{3}$，
两边平方得2sinαcosα=$-\frac{5}{9}$，
则$\frac{{2{{sin}^2}α+2sinαcosα}}{1+tanα}$=$\frac{2si{n}^{2}α+2sinαcosα}{1+\frac{sinα}{cosα}}$
=$\frac{2sinα（sinα+cosα）}{\frac{sinα+cosα}{cosα}}$=2sinαcosα=$-\frac{5}{9}$．

点评 本题主要考查平面向量数量积的应用以及向量和三角函数的综合，根据相应的三角公式以及向量的坐标公式进行转化是解决本题的关键．