Question

15．已知直线l：x-2y-2$\sqrt{5}$=0与x，y轴分别交于点M，N，P是圆C：x²+y²=2上任意一点．
（Ⅰ）求△PMN面积的最小值；
（Ⅱ）求点P到直线l的距离小于1的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出M，N的坐标，圆心到l的距离，即可求△PMN面积的最小值；
（Ⅱ）点P到直线l的距离的范围为[2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$]，点P到直线l的距离小于1的范围为[2-$\sqrt{2}$，1），即可求点P到直线l的距离小于1的概率．

解答 解：（Ⅰ）$M（2\sqrt{5}，0），N（0，-\sqrt{5}）$；圆心到l的距离为d=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=2，
所以${{（{{S}_{△PMN}}）}_{min}}=\frac{1}{2}×5×（2-\sqrt{2}）=\frac{10-5\sqrt{2}}{2}$；
（Ⅱ）点P到直线l的距离的范围为[2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$]，
点P到直线l的距离小于1的范围为[2-$\sqrt{2}$，1），
∴点P到直线l的距离小于1的概率为$\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查三角形面积的计算，考查几何概型，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．