Question

6．已知函数f（x）=x³-ax²-3x．
（1）若a=4时，求f（x）在x∈[1，4]上的最大值和最小值；
（2）若f（x）在x∈[2，+∞]上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定函数在[1，3]上单调递减，[3，4]上单调递增，即可求f（x）在x∈[1，4]上的最大值和最小值；
（2）在x∈[2，+∞]上，f′（x）=3x²-2ax-3≥0可得a≤$\frac{3{x}^{2}-3}{2x}$ 在x∈[2，+∞]上恒成立，只要求 $\frac{3{x}^{2}-3}{2x}$ 的最小值即可得到a的取值范围．

解答 解：（1）a=4时，f（x）=x³-4x²-3x，
∴f′（x）=3x²-8x-3，
∴函数在[1，3]上单调递减，[3，4]上单调递增，
∴f（x）在x∈[1，4]上的最大值为f（1）=-6，最小值为f（3）=-18；
（2）在x∈[2，+∞]上，f′（x）=3x²-2ax-3≥0，
可得a≤$\frac{3{x}^{2}-3}{2x}$ 在x∈[2，+∞]上恒成立，
∴只要求 $\frac{3{x}^{2}-3}{2x}$ 的最小值即可，而y=$\frac{3{x}^{2}-3}{2x}$．
y′=$\frac{6{x}^{2}+6}{4{x}^{2}}$恒大于零，
∴y在R上为增函数，∴y_min=$\frac{9}{4}$，
∴a≤$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查学生利用导数研究函数的单调性的能力，利用导数求闭区间上函数最值的能力．