Question

11．已知函数f（x）=2e^x-ax-2（x∈R，a∈R）．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）当x≥0时，若不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数的几何意义可得切线的斜率，再利用点斜式即可得出切线方程．
（2）当x≥0时，若不等式f（x）≥0恒成立?[f（x）]_min≥0．f′（x）=2e^x-a．对a分类讨论：若a≤0，利用单调性即可得出是否满足条件．②若 a＞0，由f′（x）=0，解得x=ln$\frac{a}{2}$．即可得出单调性，对$ln\frac{a}{2}$分类讨论即可得出．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=2e^x-x-2，f′（x）=2e^x-1，f′（1）=2e-1，
即曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率k=2e-1，又f（1）=2e-3，
故所求的切线方程是y=（2e-1）x-2．
（2）当x≥0时，若不等式f（x）≥0恒成立?[f（x）]_min≥0．
易知f′（x）=2e^x-a．
①若a≤0，则f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上单调递增；
又f（0）=0，∴当x∈[0，+∞）时，f（x）≥f（0）=0，符合题意．
②若 a＞0，由f′（x）=0，解得x=ln$\frac{a}{2}$．
则当$x∈（-∞，ln\frac{a}{2}）$时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当$x∈（ln\frac{a}{2}，+∞）$时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴x=$ln\frac{a}{2}$时，函数f（x）取得最小值．
当$ln\frac{a}{2}≤0$，即0＜a≤2时，当x∈[0，+∞）时，f（x）≥f（0）=0，符合题意．
当$ln\frac{a}{2}＞0$，即a＞2时，当$x∈（0，ln\frac{a}{2}）$时，f（x）单调递增，f（x）＜f（0）=0，不符合题意．
综上，实数a的取值范围是（-∞，2]．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法、不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．