Question

10．设f₀（x）=cosx，f₁（x）=f₀′（x），f₂（x）=f₁′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（x）（n∈N），则f₂₀₁₆（x）=（　　）

• A． sinx
• B． -sinx
• C． cosx
• D． -cosx

Answer 1

分析 求出f₁（x）=f₀′（x）=-sinx，f₂（x）=f₁′（x）=-cosx，f₃（x）=f₂′（x）=sinx，f₄（x）=f₃′（x）=cosx…从第五项开始，f_n（x）的解析式重复出现，每4次一循环，由此能求出f₂₀₁₆（x）的值．

解答 解：∵设f₀（x）=cosx，f₁（x）=f₀′（x），f₂（x）=f₁′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（x）（n∈N），
∴∵f₀（x）=cosx，
∴f₁（x）=f₀′（x）=-sinx，
f₂（x）=f₁′（x）=-cosx，
f₃（x）=f₂′（x）=sinx，
f₄（x）=f₃′（x）=cosx
…
从第五项开始，f_n（x）的解析式重复出现，每4次一循环．
∴f₂₀₁₆（x）=f_4×504（x）=f₀（x）=cosx，
故选：C．

点评 本题考查导数性质的应用，是中档题，解题时要认真审，注意三角函数性质的合理运用．