Question

15．求证：$\frac{1}{n}$（1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{n}$）＞$\root{n}{n+1}$-1（n∈N⁺，n＞1）

Answer 1

分析 要证原不等式成立，可证n+（1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{n}$）=（1+1）+（1+$\frac{1}{2}$）+…+（1+$\frac{1}{n}$）＞n$\root{n}{n+1}$，运用均值不等式即可得证．

解答 证明：n+（1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{n}$）=（1+1）+（1+$\frac{1}{2}$）+…+（1+$\frac{1}{n}$）
=2+$\frac{3}{2}$+…+$\frac{n+1}{n}$＞n$\root{n}{2•\frac{3}{2}…\frac{n+1}{n}}$=n$\root{n}{n+1}$，
即有1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{n}$＞n$\root{n}{n+1}$-n，
即为$\frac{1}{n}$（1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{n}$）＞$\root{n}{n+1}$-1（n∈N⁺，n＞1）．

点评 本题考查不等式的证明，重点考查均值不等式的运用，注意化简整理，属于中档题．