Question

7．如图，棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为AB和BC的中点，M为棱B₁B的中点．求证：
（1）EF⊥平面BB₁D₁D；
（2）平面EFB₁⊥平面D₁C₁M．

Answer 1

分析 （1）证明EF垂直于BD，DD₁，即可证明EF⊥平面BB₁D₁D；
（2）证明FB₁⊥平面D₁C₁M，即可证明平面EFB₁⊥平面D₁C₁M．

解答 证明：（1）∵E、F分别为AB和BC的中点，
∴EF∥AC，
∵AC⊥BD，
∴EF⊥BD，
∵DD₁⊥平面ABCD，EF?平面ABCD，
∴DD₁⊥EF，
∵DD₁∩BD=D，
∴EF⊥平面BB₁D₁D；
（2）由△B₁C₁M≌△BB₁F，可得FB₁⊥C₁M．
再由D₁C₁⊥平面BCC₁B₁，可得FB₁⊥D₁C₁，
∵C₁M∩D₁C₁=C₁，
∴FB₁⊥平面D₁C₁M，
∵FB₁?平面EFB₁，
∴平面EFB₁⊥平面D₁C₁M．

点评 本题考查线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，正确证明线面垂直是关键．