Question

16．设函数f（x）=alnx-2ax+3（a≠0）
（1）设a=-1，求f（x）的极值；
（2）在（1）的条件下，若g（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²[f′（x）+m]在（1，3）上不是单调函数，求m的范围；
（3）求f（x）=（x-3）e^x的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）先求函数的导函数f′（x），再解不等式f′（x）＞0，得函数的单调增区间，解不等式f′（x）＜0得函数的单调减区间，最后由极值定义求得函数极值．
（2）构造新函数g（x），把在区间（1，3）上不是单调函数，即函数g（x）的导函数在区间（1，3）不能恒为正或恒为负，从而转化为求导函数的函数值问题，利用导数列出不等式，最后解不等式求得实数m的取值范围．
（3）求函数的导数，解不等式f′（x）＞0即可．

解答 解：（1）当a=-1，f（x）=-lnx+2x+3（x＞0），${f^'}（x）=\frac{-1}{x}+2$，…（2分）
∴f（x）的单调递减区间为（0，$\frac{1}{2}$），单调递增区间为（$\frac{1}{2}$，+∞）    …（4分），
∴f（x）的极小值是$f（\frac{1}{2}）=-ln\frac{1}{2}+2×\frac{1}{2}+3=ln2+4$．…（6分）
（2）$g（x）=\frac{1}{3}{x}^{3}+{x}^{2}（-\frac{1}{x}+2+m）$，g′（x）=x²+（4+2m）x-1，…（8分）
∴g（x）在区间（1，3）上不是单调函数，
且g′（0）=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g′（1）＜0}\\{g′（3）＞0}\end{array}\right.$ …（10分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{4+2m＜0}\\{20+6m＞0}\end{array}\right.$，
即：-$\frac{10}{3}＜m＜-2$．
故m的取值范围$（-\frac{10}{3}，-2）$…（12分）
（3）∵f（x）=（x-3）e^x，
∴f′（x）=（x-3）′e^x+（x-3）（e^x）′=（x-2）e^x，
令f′（x）＞0，解得x＞2．
即函数单调递增区间为（2，+∞）．

点评 本题考查了函数的定义域、单调性、极值，以及导数在其中的应用，由不等式恒成立问题与最值问题求解参数的取值范围的方法．