Question

18．已知f（x）=ax²-e^x（a∈R）．
（1）当a=1时，令h（x）=f′（x），求h（x）的单调区间；
（2）若x＞0时，f（x）有极值点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，f（x）=x²-e^x．令h（x）=f′（x）=2x-e^x，h′（x）=2-e^x，利用单调性可得ln2是函数h（x）的极大值点，进而得出函数f（x）的单调区间．
（2）f′（x）=2ax-e^x，令f′（x）=2ax-e^x=0，解得a=$\frac{{e}^{x}}{2x}$=g（x），（x＞0）．g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{2{x}^{2}}$，利用单调性即可得出极值，进而得出a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x²-e^x．
令h（x）=f′（x）=2x-e^x，
h′（x）=2-e^x，当x＞ln2时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；当x＜ln2时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．
∴ln2是函数h（x）的极大值点，
∴h（x）=f′（x）≤h（ln2）=2ln2-2＜0，此时函数f（x）单调递减，函数f（x）无单调递增区间．
（2）f′（x）=2ax-e^x，令f′（x）=2ax-e^x=0，解得a=$\frac{{e}^{x}}{2x}$=g（x），（x＞0）．
g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{2{x}^{2}}$，当x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
∴当x=1时，函数g（x）取得极小值即最小值，g（1）=$\frac{e}{2}$．
∴$a≥\frac{e}{2}$．
∴实数a的取值范围是$[\frac{e}{2}，+∞）$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．