Question

17．如图，AD为△ABC的边BC上的高，E在AD上，且ED=2AE，过E作直线MN∥BC，分别交AB，AC于M，N点，将△AMN沿MN折起到A₁MN，使二面角A₁-MN-C为60°，求证：平面A₁MN⊥平面A₁BC．

Answer 1

分析 利用余弦定理求出A₁D，勾股定理证明A₁E⊥A₁D，再证明A₁E⊥平面A₁BC，即可证明平面A₁MN⊥平面A₁BC．

解答 证明：由题意，∠A₁ED=60°，
设ED=2A₁E=2a，
∴A₁D=$\sqrt{{a}^{2}+4{a}^{2}-2•a•2a•\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$a，
∴A₁E²+A₁D²=ED²，
∴A₁E⊥A₁D，
∵A₁E⊥BC，A₁D∩BC=D，
∴A₁E⊥平面A₁BC，
∵A₁E?平面A₁MN，
∴平面A₁MN⊥平面A₁BC．

点评 本题考查平面A₁MN⊥平面A₁BC，考查学生分析解决问题的能力，证明A₁E⊥平面A₁BC是关键．