Question

6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点P（2，1），且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点P作椭圆两条互相垂直的弦PA，PB分别与椭圆交于点A，B，问：直线AB是否经过定点T？若经过，求出点T的坐标；若不经过，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形，可得b=c，联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{b=c}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）设直线AB的方程为y=kx+m．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为（1+2k²）x²+4mkx+2m²-6=0．由于PA⊥PB，可得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=0，化为（1+k²）x₁x₂+（mk-k-2）（x₁+x₂）+（m-1）²+4=0，把根与系数的关系代入化为4k²+8mk+3m²-2m-1=0，解出即可得出．

解答 解：（1）∵两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形，∴b=c，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{b=c}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=6，b=c=$\sqrt{3}$．
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）设直线AB的方程为y=kx+m．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=6}\end{array}\right.$，化为（1+2k²）x²+4mkx+2m²-6=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-4mk}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-6}{1+2{k}^{2}}$．
∵PA⊥PB，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-1）（y₂-1）=0，
化为（1+k²）x₁x₂+（mk-k-2）（x₁+x₂）+（m-1）²+4=0，
∴$\frac{（2{m}^{2}-6）（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{（mk-k-2）×（-4mk）}{1+2{k}^{2}}$+（m-1）²+4=0，
化为4k²+8mk+3m²-2m-1=0，
解得m=1-2k或m=$\frac{-1-2k}{3}$，
∴直线方程为：y=k（x-2）+1，或y=$k（x-\frac{2}{3}）-\frac{1}{3}$．
直线AB过定点T$（\frac{2}{3}，-\frac{1}{3}）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量垂直与数量积运算性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．