Question

18．设F₁，F₂分别为椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，点$A（1，\;\;\frac{3}{2}）$在椭圆上，且点A到F₁，F₂两点的距离之和等于4．
（1）求椭圆的方程．
（2）若K为椭圆C上的一点，且∠F₁KF₂=30°，求△F₁KF₂的面积．

Answer 1

分析 （1）由点A到F₁，F₂两点的距离之和等于4．可得2a=4，解得a．又点$A（1，\;\;\frac{3}{2}）$在椭圆上，可得 $\frac{1}{4}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$，解得b²，即可得出．
（2）$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1．记|KF₁|=m，|KF₂|=n，则m+n=4，由余弦定理可得：$|{F_1}{F_2}{|^2}\;={（2c）^2}={m^2}+{n^2}-2mncos{30°}$，可得mn．利用 ${S_{△{F_1}K{F_2}}}=\frac{1}{2}mnsinα=\frac{1}{4}mn$，即可得出．

解答  解：（1）∵点A到F₁，F₂两点的距离之和等于4．
∴2a=4，解得 a=2．
又点$A（1，\;\;\frac{3}{2}）$在椭圆上，∴$\frac{1}{4}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$，解得b²=3，
所以所求椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1．
记|KF₁|=m，|KF₂|=n，则m+n=4，
由余弦定理可得：$|{F_1}{F_2}{|^2}\;={（2c）^2}={m^2}+{n^2}-2mncos{30°}$，
∴${（2c）^2}={m^2}+{n^2}-\sqrt{3}\;mn$，
${（2c）^2}={（m+n）^2}-（2+\sqrt{3}\;）\;mn$，
∴$mn\;=12（2-\sqrt{3}）$，
又 ${S_{△{F_1}K{F_2}}}=\frac{1}{2}mnsinα=\frac{1}{4}mn$，
∴${S_{△{F_1}K{F_2}}}=3\;（\;2-\sqrt{3}\;）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、三角形面积计算公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．