Question

已知两定点A（-2，0）和B（2，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（　　）

• A、

  2

  26

• B、

  4

  26

• C、

  2

  13

• D、

  4

  13

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意知，要使椭圆C的离心率取最大值，则a取最小值．即|PA|+|PB|取最小值．利用点的对称性求出|PA|+|PB|的最小值即可解答本题．

解答：解：由题意得，
2c=|AB|=4．
∴c=2．
2a=|PA|+|PB|．
当a取最小值时，椭圆C的离心率有最大值．
设点A（-2，0）关于直线l：y=x+3的对称点为A′（x，y）．
则

y x+2 =-1 y 2 = x-2 2 +3

．
解得，

x=-3 y=1

．
∴A′（-3，1）．
则|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|．
∴2a≥|A′B|=

26

．
∴当a=

26

2

时，椭圆有最大离心率．
此时，

c

a

=

4

26

．
故选：B．

点评：本题考查椭圆的基本性质，动点到定点距离的最值等知识，属于中档题．