Question

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与圆C₂：x²+y²=b²，若在椭圆C₁上存在点P，使得由点P所作的圆C₂的两条切线互相垂直，则椭圆C₁的离心率的取值范围是（　　）

• A、[

  1

  2

  ，1）
• B、[

  2

  2

  ，

  3

  2

  ]
• C、[

  2

  2

  ，1）
• D、[

  3

  2

  ，1）

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设P（m，n），则由题意知

m2+n2=2b2 m2 a2 + n2 b2 =1

，由此导出e=

1- b2 a2

=

b2 m2

，从而能求出椭圆C₁的离心率的取值范围．

解答：解：设P（m，n），则由题意知：

m2+n2=2b2 m2 a2 + n2 b2 =1

，
∴b²m²=

m2+n2

2

a2-a2 n2=a2•

m2-n2

2

，
∴

b2

a2

=

m2-n2

2m2

，
∴e=

1- b2 a2

=

2m2-m2+n2 2m2

=

m2+n2 2m2

=

b2 m2

，
∵-a≤m≤a，
∴m=b时，e_max→

2-1

=1，
m=a时，e_min=

1- b2 a2

=

b2 a2

，∴

b2

a2

=

1

2

，
∴e_min=

1- 1 2

=

2

2

．
故选：C．

点评：本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的灵活运用．